割と使用頻度が高いのに毎回のように「どうするんだっけ...」となってしまうので備忘録。
YouTubeやVimeoなどのような埋め込み動画をレスポンシブ対応させる方法で、特に面倒な記述も必要なく実装できます。

実装にはHTMLとCSSを下記のように記述し、HTMLは動画を表示させるiframeをdiv要素で囲み、CSSはdivとiframeそれぞれにスタイルを指定します。

<!-- YouTube -->
<div class="video">
  <iframe src="//www.youtube.com/embed/{動画コード・パラメータ指定部分}" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</div>

<!-- Vimeo -->
<div class="video">
  <iframe src="//player.vimeo.com/video/{動画コード・パラメータ指定部分}" frameborder="0" webkitAllowFullScreen mozallowfullscreen allowFullScreen></iframe>
</div>
.video {
  position: relative;
  height: 0;
  padding: 30px 0 56.25%;
  overflow: hidden;
}
.video iframe {
  position: absolute;
  top: 0;
  left: 0;
  width: 100%;
  height: 100%;
}

CSSで.videoに対して指定しているpadding: 30px 0 56.25%;は場合によっては不要な余白等が出ることもあるので、その場合は代わりにpadding-top: 56.25%;を使用してみてください。
また、今回はYouTube・Vimeoともにiframeを使用しているのでCSSもiframeのみを記述していますが、objectやembedの場合でも同じように指定すればレスポンシブ対応させることができます。